ff1588d761d55f48f61a52249e1dcc24

<!DOCTYPE html>

<title>Raute</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Raute</span></h1>

</header>

</div>

<p>Eine <b>Raute</b> oder ein <b>Rhombus</b> (von <span style="font-style:normal;font-weight:normal"><a href="Altgriechische_Sprache" title="Altgriechische Sprache">altgriechisch</a></span> <span lang="grc-Grek" class="Grek" style="font-style:normal">ῥόμβος</span> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r261937631">

/* start https://de.wikipedia.org/ */

.mw-parser-output .Latn{font-family:"Akzidenz Grotesk","Arial","Avant Garde Gothic","Calibri","Futura","Geneva","Gill Sans","Helvetica","Lucida Grande","Lucida Sans Unicode","Lucida Grande","Stone Sans","Tahoma","Trebuchet","Univers","Verdana"}

/* end https://de.wikipedia.org/ */

</style><span class="Latn" lang="grc-Latn" style="font-weight:normal;font-style:italic">rhómbos</span>)<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> ist in der <a href="Geometrie" title="Geometrie">Geometrie</a> ein ebenes <a href="Viereck" title="Viereck">Viereck</a> mit vier gleich langen Seiten. Gegenüberliegende Seiten sind <a href="Parallelit%C3%A4t_(Geometrie)" title="Parallelität (Geometrie)">parallel</a> und gegenüberliegende <a href="Winkel" title="Winkel">Winkel</a> gleich groß.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Etymologie">Etymologie</h2></div>

<p>Das <a href="Etymologisches_W%C3%B6rterbuch_der_deutschen_Sprache" title="Etymologisches Wörterbuch der deutschen Sprache">Etymologische Wörterbuch der deutschen Sprache</a> sieht eine Verwendung des geometrischen Begriffs „Raute“ (mittelhochdeutsch <i>rūte</i> von althochdeutsch <i>rūta,</i> entlehnt von lateinisch <i>ruta</i>) seit dem 14. Jahrhundert und nennt die Entstehung „dunkel“. Den Auflagen von 1934 bis 1975 zufolge ergebe sich ein Rhombus, wenn die Spitzen der vier <a href="Kronblatt" title="Kronblatt">Kronblätter</a> der <a href="Weinraute" title="Weinraute">Rautenblüte</a> durch Geraden verbunden würden. Die Erstverwendung in der Geometrie sei für 1539 bezeugt. Spätere Auflagen enthalten diese Erklärung nicht mehr und führen nur eine fachsprachlich gleichbedeutende <a href="Mittelhochdeutsche_Sprache" title="Mittelhochdeutsche Sprache">spätmittelhochdeutsche</a> Form <i>rūta</i> an.<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Botanische etymologische Lexika weisen darauf hin, dass die Weinraute keine rhombische Laubblattspreite habe.<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Dem Etymologischen Wörterbuch von <a href="Wolfgang_Pfeifer_(Etymologe)" title="Wolfgang Pfeifer (Etymologe)">Wolfgang Pfeifer</a> zufolge entstand der Begriff durch die „zuerst in der Heraldik auftretende geometrische Figur in der stilisierten vierteiligen Blütenform der Pflanze“ als Entlehnung aus lateinisch <i>rūta,</i> griechisch <i>rhȳtḗ (ῥυτή)</i> („Bitterkraut“).<sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Bezeichnungen,_Darstellungen_und_Verwendung_als_Zeichen"><span id="Bezeichnungen.2C_Darstellungen_und_Verwendung_als_Zeichen"></span>Bezeichnungen, Darstellungen und Verwendung als Zeichen</h2></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation"><span class="hauptartikel-pfeil" title="siehe" aria-hidden="true" role="presentation">→ </span><i><span class="hauptartikel-text">Hauptartikel</span>: <a href="Raute_(Heraldik)" title="Raute (Heraldik)">Raute (Heraldik)</a> und <a href="Raute_(Symbol)" title="Raute (Symbol)">Raute (Symbol)</a></i></div>

<p>Neben „Raute“ werden die Ausdrücke „Rhombus“ (Plural: Rhomben) und „Karo“ verwendet. Beispielsweise heißt ein Webmuster bei Textilien: „Karomuster“.

</p><p>Ein <a href="Quadrat" title="Quadrat">Quadrat</a>, das auf der Spitze steht, wird manchmal ebenfalls verallgemeinernd als Raute bezeichnet.

</p><p>Rautenformen als Schriftzeichen finden sich in <a href="Unicode" title="Unicode">Unicode</a> im Block <i><a href="Unicodeblock_Geometrische_Formen" title="Unicodeblock Geometrische Formen">Geometrische Formen</a>,</i> beispielsweise ◆ (U+25C6 <span style="font-variant:small-caps;">black diamond</span> „vollflächiges Karo“), ◇ (U+25C7 <span style="font-variant:small-caps;">white diamond</span> „hohles Karo“) und ◊ (U+25CA <span style="font-variant:small-caps;">lozenge</span> „Spitzraute“<sup id="cite_ref-5" class="reference"><a href="#cite_note-5"><span class="cite-bracket">[</span>5<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>).

</p><p>In der <a href="Heraldik" title="Heraldik">Heraldik</a> heißen rautenförmige Elemente auch <i><a href="Wecke_(Heraldik)" title="Wecke (Heraldik)">Wecke</a></i> und <i><a href="Spindel_(Heraldik)" title="Spindel (Heraldik)">Spindel</a>,</i> das auf die Spitze gestellte Quadrat auch <i>Kantenwürfel.</i>

</p><p>Symbole in Rautenform oder mit rautenförmigen Bestandteilen kommen in vielen Verwendungen wie z. B. als <a href="Logo_(Zeichen)" title="Logo (Zeichen)">Logo</a> von Sportvereinen und Firmen vor.

</p><p>Straßenverkehr: Seit einigen Jahren zeigt eine auf eine Fahrspur gemalte Raute die Stelle einer Sensorschleife an, mit der eine Ampelsteuerung ein angkommendes (metallenes) Fahrzeug erkennen kann. Spätestens mit August 2024 hat Frankreich eine blaue Verkehrstafel mit weißer Raute eingeführt. Damit wird markiert, dass eine linke Fahrspur einer Autobahn oder am Pariser Ring nur von Bussen, Taxis oder Fahrgemeinschaften (Pkws mit mindestens 2 Insassen) oder Elektrofahrzeugen (mit einer Rautenplakette) benützt werden darf.<sup id="cite_ref-6" class="reference"><a href="#cite_note-6"><span class="cite-bracket">[</span>6<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Eigenschaften">Eigenschaften</h2></div>

<p>Eine <i>Raute</i> ist ein ebenes <a href="Viereck" title="Viereck">Viereck</a> mit vier gleich langen Seiten.<sup id="cite_ref-7" class="reference"><a href="#cite_note-7"><span class="cite-bracket">[</span>7<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Alternativ lässt sich die Raute als <a href="Parallelogramm" title="Parallelogramm">Parallelogramm</a> definieren, dessen <a href="Diagonale_(Geometrie)" title="Diagonale (Geometrie)">Diagonalen</a> einander <a href="Rechter_Winkel" title="Rechter Winkel">rechtwinklig</a> schneiden (siehe <a href="Orthodiagonales_Viereck" title="Orthodiagonales Viereck">orthodiagonales Viereck</a>).

</p><p>Für jede Raute gilt:

</p>

<ul><li>Gegenüberliegende Seiten sind <a href="Parallelit%C3%A4t_(Geometrie)" title="Parallelität (Geometrie)">parallel</a>.</li>

<li>Gegenüberliegende <a href="Innenwinkel" title="Innenwinkel">Innenwinkel</a> sind gleich groß, benachbarte Innenwinkel <a href="Supplement%C3%A4rwinkel" class="mw-redirect" title="Supplementärwinkel">supplementär</a>, d. h., ihre Summe ist 180°.</li>

<li>Die Innenwinkel werden durch eine <a href="Diagonale_(Geometrie)" title="Diagonale (Geometrie)">Diagonale</a> halbiert.</li>

<li>Die beiden Diagonalen stehen senkrecht aufeinander und halbieren einander.</li>

<li>Sie besitzt einen <a href="Inkreis" title="Inkreis">Inkreis</a> und ist daher ein <a href="Tangentenviereck" title="Tangentenviereck">Tangentenviereck</a>. Inkreismittelpunkt ist der <a href="Schnittpunkt" title="Schnittpunkt">Schnittpunkt</a> der Diagonalen.</li>

<li>Die Diagonalen sind <a href="Symmetrieachse" class="mw-redirect" title="Symmetrieachse">Symmetrieachsen</a>. Die beiden Symmetrieachsen stehen also senkrecht aufeinander.</li>

<li>Sie ist <a href="Punktsymmetrie" title="Punktsymmetrie">punktsymmetrisch</a> (zweizählig symmetrisch) bezüglich des Schnittpunkts der Diagonalen.</li>

<li>Die <a href="Symmetriegruppe" title="Symmetriegruppe">Symmetriegruppe</a> ist die <a href="Kleinsche_Vierergruppe" title="Kleinsche Vierergruppe">Kleinsche Vierergruppe</a> (außer die gegebene Raute ist sogar ein Quadrat, dann ist die Symmetriegruppe eine <a href="Diedergruppe" title="Diedergruppe">Diedergruppe</a> mit 8 Elementen, weil dann außer den Spiegelungen noch Drehungen dazukommen).</li></ul>

<p>Die Raute kann charakterisiert werden als

</p>

<ul><li><a href="Parallelogramm" title="Parallelogramm">Parallelogramm</a> mit zwei benachbarten gleich langen Seiten</li>

<li>Parallelogramm mit <a href="Orthogonalit%C3%A4t" title="Orthogonalität">orthogonalen</a> <a href="Diagonale_(Geometrie)" title="Diagonale (Geometrie)">Diagonalen</a></li>

<li>Parallelogramm mit einer Diagonalen, die einen <a href="Innenwinkel" title="Innenwinkel">Innenwinkel</a> halbiert</li>

<li><a href="Drachenviereck" title="Drachenviereck">Drachenviereck</a> mit paarweise <a href="Parallelit%C3%A4t_(Geometrie)" title="Parallelität (Geometrie)">parallelen</a> Seiten</li>

<li><a href="Viereck" title="Viereck">Viereck</a> mit orthogonalen Diagonalen, die einander halbieren</li>

<li>Viereck mit genau 2 Symmetrieachsen, von denen jede durch zwei gegenüberliegende Eckpunkte verläuft<sup id="cite_ref-8" class="reference"><a href="#cite_note-8"><span class="cite-bracket">[</span>8<span class="cite-bracket">]</span></a></sup></li>

<li>Viereck, dessen zwei Diagonalen jeweils zwei gegenüberliegende Innenwinkel halbieren</li></ul>

<p>Um eine Raute zu konstruieren, sind zwei Bestimmungsstücke, z. B. die Seitenlänge und ein <a href="Winkel" title="Winkel">Winkel</a>, notwendig.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Formeln">Formeln</h2></div>

<th colspan="3" style="background:#C0C0FF">Mathematische Formeln zur Raute

</th></tr>

<tr>

<td rowspan="4"><b><a href="Fl%C3%A4cheninhalt" title="Flächeninhalt">Flächeninhalt</a></b>

</td>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A=a\cdot h_{a}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fbb5386d6a96585facbc50c0e2d3a9bd4ae3b9f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.191ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A=a\cdot h_{a}}" loading="lazy"></span>

</td>

</td></tr>

<tr>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A={\frac {e\cdot f}{2}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/519c66a1b7d8087864fc3577d6a649f46c08cb81.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:9.719ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle A={\frac {e\cdot f}{2}}}" loading="lazy"></span>

</td></tr>

<tr>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A=a^{2}\cdot \sin(\alpha )=a^{2}\cdot \sin(\beta )}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ae45d54ecb5ef3c91be4ccd43607a65f4039e210.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:28.016ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle A=a^{2}\cdot \sin(\alpha )=a^{2}\cdot \sin(\beta )}" loading="lazy"></span>

</td></tr>

<tr>

<mfrac>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A={\frac {h_{a}^{2}}{\sin(\alpha )}}={\frac {h_{a}^{2}}{\sin(\beta )}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ed04e12ac9fcd3c1e11fabeafdd83e4d30ca9e26.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:21.762ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle A={\frac {h_{a}^{2}}{\sin(\alpha )}}={\frac {h_{a}^{2}}{\sin(\beta )}}}" loading="lazy"></span>

</td></tr>

<tr>

<td><a href="Umfang_(Geometrie)" title="Umfang (Geometrie)"><b>Umfang</b></a>

</td>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u=4\cdot a}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2a00f05fe15dbf77cda1f38014d747982d52a4da.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.5ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle u=4\cdot a}" loading="lazy"></span>

</td></tr>

<tr>

<td><b>Seitenlänge</b>

</td>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {e^{2}+f^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9c0cbc4a7ffcac005b3dfe1a2416659f002e506b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:17.683ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle a={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {e^{2}+f^{2}}}}" loading="lazy"></span>

</td></tr>

<tr>

<td rowspan="2">Länge der <a href="Diagonale_(Geometrie)" title="Diagonale (Geometrie)"><b>Diagonalen</b></a>

</td>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e=2\cdot a\cdot \cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)=2\cdot a\cdot \sin \left({\frac {\beta }{2}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/69787722798ccc3153eb83c59e025b29487f817a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:35.437ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle e=2\cdot a\cdot \cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)=2\cdot a\cdot \sin \left({\frac {\beta }{2}}\right)}" loading="lazy"></span>

</td></tr>

<tr>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f=2\cdot a\cdot \sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)=2\cdot a\cdot \cos \left({\frac {\beta }{2}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8dc48d3d6b6c771b185a00207cb16805a322584e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:35.632ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle f=2\cdot a\cdot \sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)=2\cdot a\cdot \cos \left({\frac {\beta }{2}}\right)}" loading="lazy"></span>

</td></tr>

<tr>

<td><a href="Inkreis" title="Inkreis"><b>Inkreisradius</b></a>

</td>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{i}={\frac {h_{a}}{2}}={\frac {a\cdot \sin(\alpha )}{2}}={\frac {a\cdot \sin(\beta )}{2}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/014fe052b26555dca6cbe20ef6af436e96977126.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:34.06ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle r_{i}={\frac {h_{a}}{2}}={\frac {a\cdot \sin(\alpha )}{2}}={\frac {a\cdot \sin(\beta )}{2}}}" loading="lazy"></span>

</td></tr>

<tr>

</td>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h_{a}=a\cdot \sin(\alpha )=a\cdot \sin(\beta )}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ce82b0539732e5969ebe9e13aa28c7f7cbd2940c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.605ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle h_{a}=a\cdot \sin(\alpha )=a\cdot \sin(\beta )}" loading="lazy"></span>

</td></tr>

<tr>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h_{a}={\frac {e\cdot f}{\sqrt {e^{2}+f^{2}}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d4b70a21e311204f9b572103aa103a5c351c10b5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:16.052ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle h_{a}={\frac {e\cdot f}{\sqrt {e^{2}+f^{2}}}}}" loading="lazy"></span>

</td></tr>

<tr>

<td><b><a href="Innenwinkel" title="Innenwinkel">Innenwinkel</a></b>

</td>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha +\beta =180^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/82a990e2b14203ff8131d6ca21cda335372710b5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.3ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha +\beta =180^{\circ }}" loading="lazy"></span>

</td></tr></tbody></table>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Optimierungsprobleme_und_das_Quadrat">Optimierungsprobleme und das Quadrat</h3></div>

<p>Es gibt verschiedene <a href="Optimierungsproblem" title="Optimierungsproblem">Optimierungsprobleme</a> für Rauten. Sucht man eine Raute, die bei

</p>

<ul><li>gegebener Länge der <a href="H%C3%B6he" title="Höhe">Höhe</a> oder gegebenem <a href="Fl%C3%A4cheninhalt" title="Flächeninhalt">Flächeninhalt</a> des <a href="Inkreis" title="Inkreis">Inkreises</a> den minimalen <a href="Umfang_(Geometrie)" title="Umfang (Geometrie)">Umfang</a></li>

<li>gegebener Länge der Höhe oder gegebenem Flächeninhalt des Inkreises den minimalen Flächeninhalt</li>

<li>gegebenem Umfang die maximale Höhe oder den maximalen Flächeninhalt des Inkreises</li>

<li>gegebenem Umfang den maximalen Flächeninhalt</li>

<li>gegebenem Flächeninhalt die maximale Höhe oder den maximalen Flächeninhalt des Inkreises</li>

<li>gegebenem Flächeninhalt den minimalen Umfang</li></ul>

<p>hat, dann ergibt sich als <a href="L%C3%B6sung_(Mathematik)" title="Lösung (Mathematik)">Lösung</a> jeweils das <a href="Quadrat" title="Quadrat">Quadrat</a>.

</p><p>Jeweils zwei der sechs <a href="Optimierungsproblem" title="Optimierungsproblem">Optimierungsprobleme</a> sind im Prinzip dieselbe Fragestellung mit anderen gegebenen Größen, sodass es eigentlich nur drei verschiedene Optimierungsprobleme sind. Für die genannten Optimierungsprobleme ist das <a href="Quadrat" title="Quadrat">Quadrat</a> die gesuchte Raute. Das gilt selbstverständlich nicht für alle Optimierungsprobleme.

</p><p>Die Optimierungsprobleme für die <a href="H%C3%B6he" title="Höhe">Höhe</a> und den <a href="Fl%C3%A4cheninhalt" title="Flächeninhalt">Flächeninhalt</a> des <a href="Inkreis" title="Inkreis">Inkreises</a> haben dieselbe <a href="L%C3%B6sung_(Mathematik)" title="Lösung (Mathematik)">Lösung</a>, weil der Flächeninhalt <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi \cdot r_{i}^{2}={\tfrac {1}{4}}\cdot \pi \cdot h_{a}^{2}}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi \cdot r_{i}^{2}={\tfrac {1}{4}}\cdot \pi \cdot h_{a}^{2}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2a4a1630eea1793b1efe02a6de1f1d3ba7a6d79d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:17.002ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \pi \cdot r_{i}^{2}={\tfrac {1}{4}}\cdot \pi \cdot h_{a}^{2}}" loading="lazy"></span> des Inkreises eine <a href="Stetige_Funktion" title="Stetige Funktion">stetige</a> und <a href="Streng_monoton" class="mw-redirect" title="Streng monoton">streng monoton</a> steigende <a href="Funktion_(Mathematik)" title="Funktion (Mathematik)">Funktion</a> mit der Funktionsvariablen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h_{a}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h_{a}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/00531874c3a9e751e1c78d4f84483fcec2e75eba.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.441ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle h_{a}}" loading="lazy"></span> ist.

</p><p>Ist zum Beispiel bei gegebener <a href="H%C3%B6he_(Geometrie)" title="Höhe (Geometrie)">Höhe</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h_{a}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h_{a}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/00531874c3a9e751e1c78d4f84483fcec2e75eba.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.441ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle h_{a}}" loading="lazy"></span> die Raute mit dem kleinsten <a href="Fl%C3%A4cheninhalt" title="Flächeninhalt">Flächeninhalt</a> gesucht, dann kann man den Flächeninhalt mit <a href="Ungleichung" title="Ungleichung">Ungleichungen</a> abschätzen.

</p><p>Eine Raute mit den <a href="Diagonale_(Geometrie)" title="Diagonale (Geometrie)">Diagonalenlängen</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle e}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"></span> hat die Höhe <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {e\cdot f}{\sqrt {e^{2}+f^{2}}}}}">

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {e\cdot f}{\sqrt {e^{2}+f^{2}}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87be0d20c02dfe2b1ca3cd64e083c679d45d1d37.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:7.121ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {e\cdot f}{\sqrt {e^{2}+f^{2}}}}}" loading="lazy"></span> und den Flächeninhalt <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {e\cdot f}{2}}}">

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {e\cdot f}{2}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d003f2bcd71433aacfbce113649960be066f11de.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:2.964ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {e\cdot f}{2}}}" loading="lazy"></span>. Das <a href="Quadrat" title="Quadrat">Quadrat</a> mit der Seitenlänge <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {e\cdot f}{\sqrt {e^{2}+f^{2}}}}}">

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {e\cdot f}{\sqrt {e^{2}+f^{2}}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87be0d20c02dfe2b1ca3cd64e083c679d45d1d37.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:7.121ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {e\cdot f}{\sqrt {e^{2}+f^{2}}}}}" loading="lazy"></span> hat dieselbe Höhe und den <a href="Fl%C3%A4cheninhalt" title="Flächeninhalt">Flächeninhalt</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {e^{2}\cdot f^{2}}{e^{2}+f^{2}}}}">

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {e^{2}\cdot f^{2}}{e^{2}+f^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0fb922deba3379b9b9cc92f53674a581bcd99654.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:5.478ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {e^{2}\cdot f^{2}}{e^{2}+f^{2}}}}" loading="lazy"></span>. Wegen der <a href="Ungleichung_vom_arithmetischen_und_geometrischen_Mittel" title="Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel">Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {e\cdot f}}\leq {\tfrac {e+f}{2}}}">

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {e\cdot f}}\leq {\tfrac {e+f}{2}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/14b48e7bae84bb460ace663a251d55dfd6fcef74.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:13.248ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt {e\cdot f}}\leq {\tfrac {e+f}{2}}}" loading="lazy"></span> gilt <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {e^{2}\cdot f^{2}}{e^{2}+f^{2}}}\leq {\tfrac {e\cdot f}{2}}}">

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {e^{2}\cdot f^{2}}{e^{2}+f^{2}}}\leq {\tfrac {e\cdot f}{2}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d54cef0eb0d025e5a1fae9a6658783ec3ced8f1e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:11.54ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {e^{2}\cdot f^{2}}{e^{2}+f^{2}}}\leq {\tfrac {e\cdot f}{2}}}" loading="lazy"></span> für alle positiven Diagonalenlängen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle e}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"></span> und Gleichheit genau dann, wenn <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e=f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e=f}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cf892cde62554336eeef565d1dce85d7289d79db.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.461ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle e=f}" loading="lazy"></span> ist. Daraus folgt, dass (zu jeder Höhe <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h_{a}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h_{a}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/00531874c3a9e751e1c78d4f84483fcec2e75eba.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.441ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle h_{a}}" loading="lazy"></span>) das Quadrat die Raute mit dem kleinsten Flächeninhalt ist.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Kombinationen_mehrerer_Rauten">Kombinationen mehrerer Rauten</h2></div>

<p>Zum Stern („Rautenstern“) schließen sich nur Rauten, deren <a href="Zentriwinkel" class="mw-redirect" title="Zentriwinkel">Zentriwinkel</a> (also der Winkel in der Spitze, in der man sie aneinanderlegt) gleich <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 360^{\circ }/n}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 360^{\circ }/n}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec84df44615ba60490180907ba32ac004a082dd8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.099ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 360^{\circ }/n}" loading="lazy"></span> mit einer natürlichen Zahl <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"></span> ist. Sie bilden dann einen <a href="Stern_(Geometrie)" title="Stern (Geometrie)"><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"></span>-zackigen Stern</a>. Das gilt nicht für den dreidimensionalen Fall, hierbei lassen sich auch anderswinklige Rauten in ihrer Spitze aneinanderfügen und ergeben dann <a href="Pyramide_(Geometrie)" title="Pyramide (Geometrie)">pyramidenförmige</a> Spitzen.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Parkettierungen_mit_Rauten">Parkettierungen mit Rauten</h2></div>

<ul><li>Durch seine Definition eignet sich jede Raute für eine flächendeckende <a href="Parkettierung" title="Parkettierung">Parkettierung</a>, aber nur in zwei Hauptrichtungen (siehe <a href="Platonische_Parkettierung" class="mw-redirect" title="Platonische Parkettierung">platonische Parkettierung</a>). Hier bildet die <a href="Ebene_kristallographische_Gruppe#Gruppe_cmm" title="Ebene kristallographische Gruppe">Rautenparkettierung</a> (mit ihrer Sonderform, dem <a href="Quadratgitter" title="Quadratgitter">Quadratgitter</a>, also einem <a href="Orthogonalit%C3%A4t" title="Orthogonalität">orthogonalen</a> Raster) eine der 17 möglichen <a href="Parkettierung#Periodische_Parkettierungen" title="Parkettierung">Symmetriegruppen der Parkettierungen</a>.<sup id="cite_ref-JSF_9-0" class="reference"><a href="#cite_note-JSF-9"><span class="cite-bracket">[</span>9<span class="cite-bracket">]</span></a></sup></li>

<li>Eine solche Kachelung (flächenfüllende, schiefwinklig-platonische Kachelung) findet sich auf der <a href="Staatsflagge_Bayerns#Die_Rautenflagge" class="mw-redirect" title="Staatsflagge Bayerns">Staatsflagge Bayerns (Rautenflagge)</a>, <a href="Heraldik" title="Heraldik">heraldische</a> Fachsprache: <i>schräg <a href="Gerautet" class="mw-redirect" title="Gerautet">gerautet</a>.</i></li>

<li>Eine Besonderheit ist die aperiodische (quasikristalline) <a href="Penrose-Parkettierung" title="Penrose-Parkettierung">Penrose-Parkettierung</a> zweier Rauten mit <a href="Innenwinkel" title="Innenwinkel">Innenwinkeln</a> von 36° und 144° bzw. 72° und 108°.</li></ul>

<div class="gallerytext">Rautengitter-<a href="Parkettierung" title="Parkettierung">Parkettierung</a> in der <a href="Staatsflagge_Bayerns#Die_Rautenflagge" class="mw-redirect" title="Staatsflagge Bayerns">Staatsflagge Bayerns (Rautenflagge)</a></div>

</li>

<div class="gallerytext">Alternierende <a href="Parkettierung" title="Parkettierung">Parkettierung</a> mit Rauten</div>

</li>

<div class="gallerytext"><a href="Parkettierung#Duale_Parkettierungen" title="Parkettierung">Duale Parkettierung</a> einer <a href="Parkettierung#Archimedische_Parkettierungen" title="Parkettierung">archimedischen Parkettierung</a></div>

</li>

<div class="gallerytext"><a href="Penrose-Parkettierung" title="Penrose-Parkettierung">Penrose-Parkettierung</a></div>

</li>

<div class="gallerytext"><a href="Penrose-Parkettierung" title="Penrose-Parkettierung">Penrose-Parkettierung</a></div>

</li>

</ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Polyeder_mit_Rauten">Polyeder mit Rauten</h2></div><p>

Einige <a href="Polyeder" title="Polyeder">Polyeder</a> haben Rauten als <a href="Fl%C3%A4che_(Mathematik)" title="Fläche (Mathematik)">Seitenflächen</a>, zum Beispiel die <a href="Rhomboeder" title="Rhomboeder">Rhomboeder</a>. Die Oberfläche von <a href="Rhombendodekaeder" title="Rhombendodekaeder">Rhombendodekaeder</a> und <a href="Rhombentriakontaeder" title="Rhombentriakontaeder">Rhombentriakontaeder</a>, zweier <a href="Catalanischer_K%C3%B6rper" title="Catalanischer Körper">catalanischer Körper</a>, besteht aus <a href="Kongruenz_(Geometrie)" title="Kongruenz (Geometrie)">kongruenten</a> Rauten. Rhomboeder, Rhombendodekaeder und Rhombentriakontaeder sind Polyeder, die ausschließlich von Rauten begrenzt sind. Die genannten Polyeder sind <a href="Drehsymmetrie" class="mw-redirect" title="Drehsymmetrie">drehsymmetrisch</a>, d. h., sie können durch <a href="Drehung" title="Drehung">Drehung</a> um bestimmte <a href="Rotationsachse" title="Rotationsachse">Rotationsachsen</a> auf sich selbst abgebildet werden.</p><ul class="gallery mw-gallery-traditional">

<div class="gallerytext">Rhomboeder</div>

</li>

<div class="gallerytext"><a href="Rhombendodekaeder" title="Rhombendodekaeder">Rhombendodekaeder</a></div>

</li>

<div class="gallerytext"><a href="Rhombentriakontaeder" title="Rhombentriakontaeder">Rhombentriakontaeder</a></div>

</li>

</ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Rauten_in_Architektur,_Kunst_und_Design"><span id="Rauten_in_Architektur.2C_Kunst_und_Design"></span>Rauten in Architektur, Kunst und Design</h2></div>

<div class="gallerytext">Fußbodenmosaik in <a href="Pella_(Pella)" title="Pella (Pella)">Pella</a>, Hauptstadt des <a href="Makedonien_(antikes_K%C3%B6nigreich)" title="Makedonien (antikes Königreich)">antiken Königreichs Makedonien</a></div>

</li>

<div class="gallerytext">Rautendekor am Giebel des Südquerhauses der Kirche <i><a href="St-%C3%89tienne_(Beauvais)" title="St-Étienne (Beauvais)">St Étienne</a></i> in <a href="Beauvais" title="Beauvais">Beauvais</a>, <a href="Picardie" title="Picardie">Picardie</a></div>

</li>

<div class="gallerytext">Rautendekor am Giebel des Südquerhauses der <i><a href="St-Julien_(Chauriat)" title="St-Julien (Chauriat)">St Julien</a>,</i> <a href="Chauriat" title="Chauriat">Chauriat</a>, <a href="Auvergne" title="Auvergne">Auvergne</a></div>

</li>

<div class="gallerytext">Das <a href="Rhombendach" title="Rhombendach">Rhombendach</a> der Kirche <a href="Maria_Himmelfahrt_(Andernach)" title="Maria Himmelfahrt (Andernach)">Maria Himmelfahrt</a> in Andernach</div>

</li>

<div class="gallerytext">Rhombendach der <a href="Marienkirche_(Dortmund)" title="Marienkirche (Dortmund)">Marienkirche</a> in Dortmund</div>

</li>

<div class="gallerytext">Logo von <a href="Renault" title="Renault">Renault</a> (1972)</div>

</li>

<div class="gallerytext">Skulptur von <a href="Victor_Vasarely" title="Victor Vasarely">Victor Vasarely</a> am <a href="Budapest_D%C3%A9li_p%C3%A1lyaudvar" class="mw-redirect" title="Budapest Déli pályaudvar">Budapester Südbahnhof</a></div>

</li>

<div class="gallerytext">Rautenförmige Stützsegmente bei der <a href="Polstofffiltration" title="Polstofffiltration">Polstofffiltration</a> in der Abwasserreinigung</div>

</li>

</ul>

<p>Die <i><a href="Rhombusleiste" title="Rhombusleiste">Rhombusleiste</a></i> wird zur Verkleidung von Fassaden oder für Sichtschutzwände eingesetzt. Der Querschnitt bildet jedoch üblicherweise keine Raute, sondern ein Parallelogramm.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noresize noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"><span class="mw-default-size" typeof="mw:File"><span title="Commons"></span></span></div><b><span class=""><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Rhombi?uselang=de"><span lang="en">Commons</span>: Raute</a></span></b> – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien</div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><span class="noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"><span class="mw-default-size" typeof="mw:File"><span title="Wiktionary"></span></span></span><b><a href="https://de.wiktionary.org/wiki/Raute" class="extiw external" title="wikt:Raute">Wiktionary: Raute</a></b> – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen</div><div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><span class="noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"><span class="mw-default-size" typeof="mw:File"><span title="Wiktionary"></span></span></span><b><a href="https://de.wiktionary.org/wiki/Rhombus" class="extiw external" title="wikt:Rhombus">Wiktionary: Rhombus</a></b> – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen</div>

<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.mathematische-basteleien.de/raute.htm">Weiterführende Informationen, Berechnungsbeispiele und Abbildungen</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="Wilhelm_Pape" title="Wilhelm Pape">Wilhelm Pape</a>, Max Sengebusch (Bearb.): <cite style="font-style:italic">Handwörterbuch der griechischen Sprache</cite>. 3. Auflage, 6. Abdruck. Vieweg & Sohn, Braunschweig 1914 (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://images.zeno.org/Pape-1880/K/big/Pape-1880----02-0848.png">zeno.org</a> [abgerufen am 5. September 2020]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Raute&rft.au=Wilhelm+Pape%2C+Max+Sengebusch+%28Bearb.%29&rft.btitle=Handw%C3%B6rterbuch+der+griechischen+Sprache&rft.date=1914&rft.edition=3.+Auflage%2C+6.+Abdruck&rft.genre=book&rft.place=Braunschweig&rft.pub=Vieweg+%26+Sohn" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text"><i>Raute.</i> In: Friedrich Kluge: <i><a href="Etymologisches_W%C3%B6rterbuch_der_deutschen_Sprache" title="Etymologisches Wörterbuch der deutschen Sprache">Etymologisches Wörterbuch der deutschen Sprache</a>.</i> 11. Auflage 1934, 21. Auflage 1975, 25. Auflage 2011.</span>

</li>

<li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text"><i>Ruta.</i> In: Helmut Genaust: <i>Etymologische Handbuch der deutschen Pflanzennamen.</i> 3. Auflage 1989. Im Anschluss <i>Ruta graveolens L.</i> In: Friedhelm Sauerhoff: <i>Etymologisches Wörterbuch der deutschen Pflanzennamen.</i> 2. Auflage. 2004.</span>

</li>

<li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-4">↑</a></span> <span class="reference-text">Wolfgang Pfeifer: <i>Etymologisches Wörterbuch des Deutschen.</i> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.dwds.de/wb/Raute">Online</a>, abgerufen am 5. September 2020.</span>

</li>

<li id="cite_note-5"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-5">↑</a></span> <span class="reference-text">Benennung laut <a href="DIN_5009" title="DIN 5009">DIN 5009</a>:2022-06 Beiblatt 1, Tabelle 10 „Schmuckzeichen und geometrische Formzeichen“; ebenfalls so benannt im informativen Anhang zur Tastaturnorm <a href="DIN_2137" title="DIN 2137">DIN 2137</a> seit der Ausgabe 2018-12.</span>

</li>

<li id="cite_note-6"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-6">↑</a></span> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.chip.de/news/Kostet-Autofahrer-135-Euro-Wie-Sie-beim-blauen-Rauten-Schild-richtig-reagieren_185188836.html">Kostet Autofahrer 135 Euro: Wie Sie beim blauen Rauten-Schild richtig reagieren</a> chip.de, 15. Mai 2025.</span>

</li>

<li id="cite_note-7"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-7">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="Gerhard_Holland" title="Gerhard Holland">Gerhard Holland</a>: <i>Geometrie in der Sekundarstufe.</i> Bibliographisches Institut&Brockhaus AG, Mannheim/Wien/Zürich 1988, ISBN 3-411-03178-6, S. 163.</span>

</li>

<li id="cite_note-8"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-8">↑</a></span> <span class="reference-text">Lambacher-Schweizer: Mathematik für Gymnasien 6, Stuttgart, Klett-Verlag, 2010, ISBN 978-3-12-734561-2, S. 83. Es gibt weitere Belege in der fachdidaktischen Literatur.</span>

</li>

<li id="cite_note-JSF-9"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-JSF_9-0">↑</a></span> <span class="reference-text">Bewiesen von Jewgraf S. Fedorow 1891, nach <a href="Ian_Stewart_(Mathematiker)" title="Ian Stewart (Mathematiker)">Ian Stewart</a>: <i>Fünfeckige Kacheln.</i> In: <i>Spektrum der Wissenschaft.</i> Januar 2000, S. 106–108 (Abb. S. 108).</span>

</li>

</ol>

<div>

Normdaten (Sachbegriff): <a href="Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <span class="-print"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/7725343-7">7725343-7</a></span> </div>

</div></div></div><div><div class="zim-footer">

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